Proof: Sum of Angles in Quadrilateral is 360

Let's prove the following theorem:

if quadrilateral WXYZ is convex, then (((m∠WXY) + (m∠XYZ)) + (m∠YZW)) + (m∠ZWX) = 360

W X Y Z

Proof:

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Given
1 quadrilateral WXYZ is convex
Proof Table
# Claim Reason
1 ((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX) = 180 ((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX) = 180
2 ((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY) = 180 ((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY) = 180
3 (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + 180 = 180 + 180 if ((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX) = 180, then (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + 180 = 180 + 180
4 180 + 180 = 360 180 + 180 = 360
5 (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + 180 = 360 if (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + 180 = 180 + 180 and 180 + 180 = 360, then (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + 180 = 360
6 (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY)) = 360 if (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + 180 = 360 and ((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY) = 180, then (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY)) = 360
7 point W lies in interior of ∠XYZ if quadrilateral WXYZ is convex, then point W lies in interior of ∠XYZ
8 m∠XYZ = (m∠XYW) + (m∠WYZ) if point W lies in interior of ∠XYZ, then m∠XYZ = (m∠XYW) + (m∠WYZ)
9 point Y lies in interior of ∠ZWX if quadrilateral WXYZ is convex, then point Y lies in interior of ∠ZWX
10 m∠ZWX = (m∠ZWY) + (m∠YWX) if point Y lies in interior of ∠ZWX, then m∠ZWX = (m∠ZWY) + (m∠YWX)
11 (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY)) = (((((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (m∠WYZ)) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY) (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY)) = (((((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (m∠WYZ)) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY)
12 (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY)) = (((m∠WXY) + (m∠YZW)) + ((m∠XYW) + (m∠WYZ))) + ((m∠ZWY) + (m∠YWX)) if (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY)) = (((((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (m∠WYZ)) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY), then (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY)) = (((m∠WXY) + (m∠YZW)) + ((m∠XYW) + (m∠WYZ))) + ((m∠ZWY) + (m∠YWX))
13 (((m∠WXY) + (m∠YZW)) + ((m∠XYW) + (m∠WYZ))) + ((m∠ZWY) + (m∠YWX)) = (((m∠WXY) + (m∠YZW)) + (m∠XYZ)) + (m∠ZWX) if m∠XYZ = (m∠XYW) + (m∠WYZ) and m∠ZWX = (m∠ZWY) + (m∠YWX), then (((m∠WXY) + (m∠YZW)) + ((m∠XYW) + (m∠WYZ))) + ((m∠ZWY) + (m∠YWX)) = (((m∠WXY) + (m∠YZW)) + (m∠XYZ)) + (m∠ZWX)
14 (((m∠WXY) + (m∠YZW)) + ((m∠XYW) + (m∠WYZ))) + ((m∠ZWY) + (m∠YWX)) = (((m∠WXY) + (m∠XYZ)) + (m∠YZW)) + (m∠ZWX) if (((m∠WXY) + (m∠YZW)) + ((m∠XYW) + (m∠WYZ))) + ((m∠ZWY) + (m∠YWX)) = (((m∠WXY) + (m∠YZW)) + (m∠XYZ)) + (m∠ZWX), then (((m∠WXY) + (m∠YZW)) + ((m∠XYW) + (m∠WYZ))) + ((m∠ZWY) + (m∠YWX)) = (((m∠WXY) + (m∠XYZ)) + (m∠YZW)) + (m∠ZWX)
15 (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY)) = (((m∠WXY) + (m∠XYZ)) + (m∠YZW)) + (m∠ZWX) if (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY)) = (((m∠WXY) + (m∠YZW)) + ((m∠XYW) + (m∠WYZ))) + ((m∠ZWY) + (m∠YWX)) and (((m∠WXY) + (m∠YZW)) + ((m∠XYW) + (m∠WYZ))) + ((m∠ZWY) + (m∠YWX)) = (((m∠WXY) + (m∠XYZ)) + (m∠YZW)) + (m∠ZWX), then (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY)) = (((m∠WXY) + (m∠XYZ)) + (m∠YZW)) + (m∠ZWX)
16 (((m∠WXY) + (m∠XYZ)) + (m∠YZW)) + (m∠ZWX) = 360 if (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY)) = (((m∠WXY) + (m∠XYZ)) + (m∠YZW)) + (m∠ZWX) and (((m∠WXY) + (m∠XYW)) + (m∠YWX)) + (((m∠WYZ) + (m∠YZW)) + (m∠ZWY)) = 360, then (((m∠WXY) + (m∠XYZ)) + (m∠YZW)) + (m∠ZWX) = 360

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